| Cours I | Cours II | Cours III | Cours IV | Cours V | Cours VI |
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Introduction |
Fréquences
alléliques Dérive génétique |
Introduction à la coalescence |
Changements démographiques |
Populations subdivisées |
Sélection Tests de neutralité |
| TP I | TP II | TP III | TP IV | TP V | TP VI |
Cours IV |
Changements démographiques et diversité moléculaire |
Dans les populations naturelles, tous les individus ne participent pas forcément au processus reproductif, si bien qu'en général l'effectif de la population N qui détermine le rythme de la dérive génétique n'est pas égale à l'effectif de recensement de la population. On défini donc l'effectif efficace de la population (ou taille efficace) comme l'effectif d'une population idéale (de type Wright-Fisher) pour laquelle on aurait une fluctuation du polymorphisme équivalente à celle de la population naturelle.C'est donc le nombre d'individus d'une population idéale pour lequel on aurait un degré de dérive génétique équivalent à celui de la population réelle. On note ce nombre comme Ne.
Il y a en fait plusieurs types d'effectif efficace, selon à quel effet de la dérive génétique on s'intéresse.
Dans une population idéale, on a vu que la probabilité que 2 gènes soient identiques par ascendance à la génération précédente était égal à 1/(2N) et que le changement du coefficient de consaguinité d'une génération à l'autre était donné par
Donc, dans une population réelle, l'effectif efficace sera celui qui provoquera un changement de consanguinité de même amplitude que dans une population idéale.
Dans une popualtion idéale, on a vu que la variance de la fréquence allélique (V(t+1)) conditionnelle à celle de la génération précédente (p(t)) était donnée par la variance binomiale
Donc l'effectif efficace de variance sera donné par quelque chose de la forme
Dans une population idéale, on a vu que le changement d'hétérozygotie d'une génération à l'autre était donné par le rapport
qui était égal à
Si bien que l'effectif efficace d'une population réelle provoquant le même changement d'hétérozygotie que dans une population idéale sera défini comme
De manière générale, (mais pas toujours) les trois types de taille efficace donnet des valeurs identiques. On utilisera une définition ou une autre selon les cas.
1.1 Population avec sexes séparés (dioécie)
Contrairement au modèle de Wright-Fisher, dans une population avec des sexes séparés deux gènes ne peuvent être identiques par ascendance (ibd) que 2 générations auparavant.
Si l'on considère un individu quelconque, il peut avoir 2 gènes ibd venant de son grand-père ou de sa grand-mère. Considérons qu'il y a Nm mâles dans la population et Nf femelles. Les parents d'un individu de la génération t peuvent avoir 2 gènes ibd venant d'un mâle (le grand-père) avec une probabilité 1/(2Nm) (en bleu sur la figure ci-dessus). Chaque parent a une probabilité 1/2 de lui transmettre son gène ibd, et donc une probabilité totale de 1/4 que les deux gènes ibd de ses parents lui soient transmis. Il y a donc une probabilité de 1/(8Nm) pour que ses deux gènes soient ibd en provenance de son grand-père. Par le même raisonnement, il y a une probabilité de 1/(8Nf) pour que ses 2 gènes soient ibd en provenance de sa grand-mère. Il y a donc une probabilité totale de 1/(8Nm) + 1/(8Nf) pour qu'il ait 2 gènes ibd.
Or on a vu précédemment que la probabilité qu'un individu d'une population idéale ait 2 gènes ibd était de 1(2N). Il en découle que l'effectif efficace de consanguinité dans une population avec sexe séparé est obtenu en résolvant l'équation
ce qui donne (p. ex. Kimura and Crow 1963)
dans le cas ou Nf =Nm , on a bien Ne = N, mais lorsque l'on a des nombres de mâles et de femelles différents dans une population, l'effectif efficace de la population va être considérablement réduit, avec un minimum d'environ 4.
Taille efficace en fonction du nombre de mâles dans la population
Pour les gènes portés sur le chromosome X ou les espèces haplo-diploides (p. ex. les insectes sociaux), le calcul de l'effectif efficace est un peu différent que pour les espèces à sexes séparés. Là on va utiliser l'effectif efficace de variance, car la notion de consanguinité ne marche pas pour les haploides.
Une population haplo-diploide est généralement composée de mâles haploides et de femelles diploides. Considérons un locus à 2 allèles où la fréquence de l'allèle A est de pm chez les mâles et pf chez les femelles, et celle de l'alèle a de qm et qf chez les mâles et les femelle, respectivement. La variance d'échantillonnage chez les mâles et les femelles sera respectivement de
Or la fréquence de l'alèle A dans la population est donné par
si bien que la variance de p est obtenue comme
A l'équilibre, pm = pf = p, et donc
Comme dans une population idéale la variance est donnée par Var(p) = pq / (2Ne), l'effectif efficace de variance est donnée par
Pour des gènes liés au sexe avec autant de mâles que de femelles, on a Ne = 2/3 N. Pour les insectes sociaux qui possède une seule reine qui produit tous les individus de la population, Nf = 1 et (Wright 1931)
Taille efficace pour les sytèmes haplo-diploides
S'il y a de la consanguinité dans la population, l'effectif efficace de la population sera réduite par un facteur proportionnel au coefficient de consanguinité
La réduction de taille est donc relativement minime dans les populations faiblement consanguines. Par contre, chez les plantes qui ont un fort taux d'autofécondation et où f est proche de 1, l'effectif efficace peut être seulement la moitié de l'effectif total.
Les populations naturelles sont rarement de taille constante au cours du temps. Celles-ci puvent en effet fluctuer fortement de génération en génération, par exemple suite à des changements climatiques, dans des modèles proies-prédateurs ou hôtes-parasites, ou encore par l'action de l'homme. Dans ce cas, l'effectif efficace de la population sera proche de la plus petite taille par laquelle une population a passé au cours de son histroire récente.
L'effectif efficace dans un tel cas se calcule en fonction de l'hétérozygotie (Crow et Kimura 1970). On a vu en effet que dans une population de taille constante
dans une population de taille variable, cette relation sera à peu près identique, à cela près que l'effectif de la population sera une variable qui dépendra du temps:
Si l'on étend ce processus sur 2 générations on aura
Donc sur un grand nombre de génération on aura quelque chose de la forme
L'effectif efficace de la population sera donc celui d'une population stationnaire qui causerait la même réduction d'hétérozygotie après t générations de dérive génétique, soit
Ceci se résout facilement si l'on fait l'hypothèse que les Ni sont grands et que l'on utilise l'approximation
si x est petit
Après résolution, on aura donc
et l'on se rend compte que l'effectif efficace de valeur propre est égale à la moyenne harmonique des effectifs précédents de la population.
On peut appliquer cette formule à différentes situations:
Lorsque la population est structurée en classes d'âges, avec des individus qui ne se reproduisent pas encore ou plus, l'effectif efficace de la population sera inférieur à l'effectif de recensement. Dans ce cas il y a plusieurs façons de calculer l'effectif efficace et Nei et Imaizumi (1966) suggèrent que l'effectif efficace est donné par
où T est l'âge moyen à la reproduction (le temps de génération) et Na est le nombre moyen d'individus nés chaque année qui vont arriver à l'âge de reproduction. A partir des données démographiques d'Amérique du Nord, Felsenstein (1971) a calculé que l'effectif efficace de la population était environ 34% de l'effectif de recensement, ce qui correspond grossièrement au tiers de la population, soit à la proportion des gens féconds de la population.
Dans le modèle de Wright-Fisher, on fait l'hypothèse que le nombre de gamètes transmis par individu suit une loi de poisson de paramètre l=2. Cependant, dans des populations naturelles de taille constante, le nombre de gamètes transmis k peut avoir une plus grande variance que celle d'une loi de Poisson (p. ex dans des population animales avec harems) ou bien une variance plus petite (p.ex chez des oiseaux qui contrôlent le nombre d'oeufs par nid). Dans ce cas, l'effectif efficace d'une population de taille constante qui a une variance Vk du nombre de gamètes transmis par individu est donné par
Losqu'il y échantillonnage aléatoire des gamètes d'une génération à l'autre, la probabilité qu'un certain individu transmette un de ses gamètes est de p=1/N à chacun des 2N tirages pour former la génération suivante. Ce nombre suit exactement un loi binomiale de paramètre b( p, 2N) que l'on approxime par une loi de poisson de paramètre l = 2Np =2. La variance du nombre de gamète transmis par individu selon une loi binomiale est donc
et dans ce cas, l'effectif efficace est donc bien de Ne = N.
Lorsque l'effectif de la population n'est pas constant, Kimura et Crow (1963) suggèrent d'utiliser l'expression plus générale
ou Ek est l'espérance du nombre de gamètes transmis par individu.
Donc d'une manière générale,
Exemples:
Les populations naturelles sont rarement stationnaires et elles peuvent passer par des périodes d'augmentation ou de réduction d'effectif. Il existe des modèles simples de croissance de population qui approximent assez bien les phénomènes réels.
On admet que l'on a une population dont l'effectif est augmenté d'un certain facteur r à chaque génération, soit
Dans l'exemple de croissance exponentielle de la population humaine qui aurait passé de 10'000 à 10 milliards d'individus en 100'000 ans, le facteur d'accroissement r est égal à 0.00276, soit un accroissement de 2.76 pour mille par génération
De la même manière, on peut avoir une population qui décroit exponentiellement
Le modèle de croisance ou décroissance exponentielle n'est pas toujours réaliste car les conditions de croissance ou décroissance d'une population vont varier au cours du temps. Par exemple, des ressources abondantes vont permettre à une populatin de mieux se nourrir et de croître rapidement, mais au fur et à mesure de la croissance, chaque individu aura une moins grande proportion des ressources limitées à disposition. On va donc introduire la notion de capacité de soutien K (carrying capacity) d'un certain environnement, qui exprime l'effectif maximal d'une population dans un environnement donné. Ainsi, l'évolution de la population dans un milieu à ressource limité est modélisé par une croissance logistique de la forme
On voit que cela ressemble à de la croissance exponentielle, mais que le facteur d'accroissement dépend maintenant du rapport de l'effectif à la génération précédente et de la capacité de soutien. Le rythme de croissance sera d'autant plus faible que l'effectif de la popuilation sera proche de la capacité de soutien. L'équation peut être exprimée en fonction de N(0) en résolvant une équation différentielle en approximation continue, ce qui donne
Croissances exponentielles et logistiques
On notera que d'autres modèles de croissance logistique ont été développés, où le fateur d'acroissement est un peu différent de celui exposé ici.
On a vu que la probabilité de coalescence à une génération donnée dépend de l'effectif de la population, si bien que pour des populations de taille constante, la longueur des branches d'une généalogie est directement proportionnelle à l'effectif de la population (voir différence entre généalogie moyenne pour des gènes nucléaires et mitochondriaux tirés de la même population).
Le même raisonnement peut s'appliquer à des populations de taille variable. Richard Hudson et Montgomery Slatkin (1991) ont montré que des populations qui étaient entrées en expansion exponentielle récemment présentaient des arbres en étoile (star-like trees) ou en peigne. Alan Rogers et Henry Harpending (1992) on ensuite montré que des expansions instantanées récentes étaient de bonnes approximatins de croissances de type logistiques ou exponentielles. Ces expansions démographiques laissaient une signature au niveau moléculaire au niveau de la distribution du nombre de différences par paires. Ces distributions mismatch présentent en effet une allure unimodale avec une forme de courbe en cloche.
On peut le comprendre aisément en s'intéressant à la généalogie d'un échantillon tiré d'une population ayant connu une croissance démographique récente.
| On représente ici le profil démographique d'une population ayant eu une augmentation instantanée de taille d'un facteur 100, passant d'une taille N0 de 1'000 individus (ici haploides) à une taille N1 de 100'000 individus. Ceci s'est passé il y a t générations. A la génération actuelle, on est donc dans une grande population, où la probabilité de coalescence d'une paire de lignage à chaque génération est de 1/ N1. Comme cette probabilité est petite, les évènements de coalescence sont rares. Au temps t, la population passe de N1 à N0 et la probabilité de coalescence devient 100 fois plus grande. C'est donc à ce moment que vont se produire la majorité des coalescences. |
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Le fait que les mutations se produisent sur les longues branches de l'arbre et que ces longues branches aient à peu près toutes la même longueur a une conséquence sur la diversité moléculaire observée. Lorsque l'on ompare deux à deux tous les gènes d'une population, ils vont présenter à peu près le même nombre de différences. Ceci est du au fait que les temps de coalescences de toutes les paires de l'échantillons sont très corrélées, et datent d'une brève période précédant l'expansion.
| La forme caractéristique d'une distribution mismatch dans population qui a connu une expansion récente sera donc une courbe en cloche. |  |
Le mode de la distribution est un indicateur du temps de l'expansion. En effet, si on a eu une expansion importante il y a t générations, le temps de coalescence moyen de deux gènes tirés au hasard sera d'un peu plus de t générations. Ces deux gènes auront donc été séparés par environ 2t générations. Si l'on a un taux de mutation u par génération, alors ces deuc gènes devraient présenter en moyenne t = 2tu mutations. Il en découle que
La distribution mismatch attendue après une expansion instantanée a été dérivée par Li 1977 et redérivée par Rogers et Harpending en 1992, sous le modèle des sites infinis. La probabilité d'observer S différences va dépendre du temps de l'expansion et de l'effectif de la population avant et après l'expansion, ces paramètres étant exprimés en unités de 2u générations, et donc égaux respectivement à t = 2tu, q0 = 2N0u , et q1 = 2N1u. Elle dépend est donnée par
où FS (q) est la probabilité que deux gènes présentent S mutations dans une population stationnaire de taille q. et qui a été donnée par watterson (1975) comme
Il semble donc possible d'estimer ces paramètres d'expansion démographique à partir de la distribution mismatch observée dans une population, par exemple par la méthode des moindres carrés, encherchant les paramètres qui minimisent l'écart entre les points de la distribution mismatch observée et attendue.
Exemples de distributions mismatch observées pour la région HV1 de l'ADN mitochondrial humain.
Distribution mismatch dans des populations européennes |
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Distribution mismatch dans des populations africaines |
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Temps d'expansions relatif estimés pour diverses populations humaines |
 Seuls les secteurs noirs représentent des expansions significatives |
La référence est la population Turkana du nord Kenya, pour laquelle la date d'expansion la plus ancienne a été trouvée (t=2tu=0.036). Il existe une polémique importante sur le taux réel de mutation de l'ADN mitochondrial humain. Les estimations varient de 7% de différence par million d'années de divergence à plusde 150%. Nos propres estimations donnent des chiffres d'environ 7%, ce qui daterait l'expansion démographique des Turkana à environ 500'000 ans, avec un intervalle de confiance à 95% de 332'000 à 627'000 ans. Des taux de mutations plus élevés donneraient des temps d'expansion plus récents. Toutefois, les dates d'expansion humaines semblent indiquer qu'elles ont connu pour la plupart une forte expansion démographique au Pléistocène, et pas au Néolithique.
Bien que les démographes et les archéologistes nous disent que la population humaine a connu une forte expansion au Néolithique, celle-ci n'aurait pas laissé de trace au niveau moléculaire, car l'effectif de la population humaine était déjà trop important avent cette expansion. On voit donc uniquement la trace d'une expansion qui fait passer une population d'une très petite taille à une grande taille, et les expansions ultérieures sont plus difficiles à déceler.
Ce TP est accessible sur gmdp_tp4.htm
Laurent Excoffier : Dernier update : mardi, 30 mai 2006 11:18
